全微分であるための条件

多変数関数があるとき、どのように微分するかという議論はすでに本文の中で紹介した。例えば二変数からなる関数 $z$ であれば、その微分は全微分として次のように与えられるのであった。

(1) $\begin{equation*} dz=\frac{\partial{z}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{z}}{\partial{y}}dy \end{equation*}$

さて、

(2) $\begin{equation*} dQ=Adx+Bdy \end{equation*}$

という形で与えられる方程式があるとき、この式が $Q$ の全微分であるための必要十分条件は

(3) $\begin{equation*} \frac{\partial{A}}{\partial{y}}=\frac{\partial{B}}{\partial{x}} \end{equation*}$

である。よく使うのでここでは必要条件の証明を示すことにする。

まず、(2)式が $Q$ の全微分であると仮定すると、 $Q$ 、 $A$ 、 $B$ の間に次に示す関係が成り立っていなければならない。

(4) $\begin{equation*} A=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}} \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} B=\frac{\partial{Q}}{\partial{y}} \end{equation*}$

次に、この(4)式を $y$ について、(5)式を $x$ についてそれぞれ偏微分すると次のようになる。

(6) $\begin{equation*} \frac{\partial{A}}{\partial{y}}=\frac{\partial^2{Q}}{\partial{x}\partial{y}} \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{\partial{B}}{\partial{x}}=\frac{\partial^2{Q}}{\partial{x}\partial{y}} \end{equation*}$

これらの式の辺々を引くと、

(8) $\begin{equation*} \frac{\partial{A}}{\partial{y}}=\frac{\partial{B}}{\partial{x}} \end{equation*}$

を導くことができる。

この議論は簡単に多変数関数に拡張することができ、

(9) $\begin{equation*} dQ=A_1 dx_1+A_2 dx_2+\cdots +A_n dx_n \end{equation*}$

なる $n$ 変数の式を考えると、上式が $Q$ の全微分であるための必要十分条件は

(10) $\begin{equation*} \frac{\partial{A_i}}{\partial{x_j}}=\frac{\partial{A_j}}{\partial{x_i}} \quad \forall{i, j} \quad(i\neq j) \end{equation*}$

となる。